2010年1月19日火曜日

剛体と質点

前回は,対象物体から,骨組み(スケルトン)だけを抜き出して,これを機構モデルとする考え方を紹介しました.今回は,同様の考え方を,力学計算に適した形にアレンジしていきたいと思います.

まず注意点を述べます.力学的な思考において,忘れてはならないのは,
  • 力学は,現実そのものではない.あくまで,説明用の虚構である.
ということです.例えば,これから説明する剛体質点は,現実には作れません.虚構なのだから当然です.にもかかわらず,そこから導かれた力学法則にしたがって,ロケットは飛び,ロボットは歩くわけです.たかが虚構,されど虚構.なかなか捨てたもんじゃありません.

本題に入りましょう.初等力学は「物体の運動」に着目します.消しゴムを投げ上げてみてください.丸めたティッシュでもいいです.運動しますね.では,運動とはなんでしょう?

初等力学では,運動する物体の2つの部分,
  1. 物体の位置の時間変化
  2. 物体の向きの時間変化
に着目し,両者をあわせて,物体の運動と呼びます.これらを数式表現して,それぞれの時間変化を計算してしまおうというのが,初等力学の目的です.

以上を踏まえて,初等力学用の物体のモデルを導入しましょう.まず,物体の位置向きを同時に表せるモデルとして,剛体を導入します.(もちろん虚構です)

定義: 変形しない物体を,剛体という.

位置と向きを表すために,なぜ変形を無視するのか,うどんを1本つまみ上げて,放り投げてみましょう.うどんの1点をマークして追跡すれば,位置は簡単に計測できます.しかし向きはどうでしょう.うねうね,ぐにゃぐにゃ,向きってどこ? そこで「Simple is best!」.変形を無視することで,向きの追跡を劇的に簡略化します.その結果が剛体というわけです.(うどんを冷凍庫に放り込めば,ほぼ剛体と見なせる代物になるでしょう)

さらに簡略化を進めて,物体の向きまでも無視してしまったモデルを,質点といいます.

定義: 大きさ0の物体を,質点という.

ものすごい空想力ですが,確かに,大きさが無い物体なら,向きを考えずに済みます.

初等力学では,こうした剛体質点の運動,すなわち,
  • 質点については,位置の時間変化
  • 剛体については,位置向きの時間変化
を計算します.問題は,これらをどのような数学で表すかですが,初等力学では,
  1. 物体の位置は,ベクトルで表す.
  2. 物体の向きは,回転変換で表す.
という手法がとられます.

次回は,ベクトルの算法を学びます.ベクトルは太字のまま計算せよ! 乞御期待

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